Родители Алексея — из Умётского района, но волей судьбы некоторое время жили в Эстонии, так как оба были военными. Именно там и родился Алексей.
В восьмидесятых годах прошлого года семья переехала жить в посёлок Садовый Кирсановского района. Здесь Алексей пошёл в первый класс в местную школу. Окончив её, поступил в Саратовский юридический институт, а затем служил в армии.
После армии несколько лет работал в полиции в Москве, позже, до 2022 года, работал в системе УФСИН.
В январе этого года он добровольно изъявил желание стать участником специальной военной операции, а уже в феврале подписал контракт на два года. Его жизнь оборвалась 31 марта 2023 года. Он погиб при исполнении воинского долга, за что был награждён орденом Мужества посмертно.
У Алексея Сулина остались жена и трое детей.